6 клас модуль 1

Логічні задачі

Необхідною складовою здатності розв'язувати математичні задачі є розвинута логіка. Для розвитку логіки доцільно розв'язувати так звані логічні задачі. До логічних задач відносяться, перш за все, текстові завдання, в яких потрібно розпізнати об'єкти або розташувати їх в певному порядку за наявними властивостями. До класу логічних задач відносяться також завдання на переливання і зважування. Про методи розв'язування логічних задач Ви можете прочитати на сайті "Математика для школы". Наведемо приклади логічних задач із розв'язуваннями.

Задача 1.

На сходах будинку сидять поряд хлопчик і дівчинка.

- Я хлопчик, - каже дитина з чорним волоссям.

- А я дівчинка, - каже дитина з рудим волоссям.

Якщо принаймні одна з дітей говорить неправду, то хто з них хлопчик, а хто дівчинка?

Розв'язання.

Для двох довільних висловлювань існують чотири можливі комбінації типу «істине - хибне», а саме:

І - І, І - Х, Х - І, Х - Х.

Перша з них виключена, оскільки в умови уточнюється, що принаймні одне з висловлювань є хибним. Друга і третя комбінації також виключаються, тому що якщо одна дитина брехала, то і інша не могла говорити правду, інакше ми б мали справу з двома хлопчиками або з двома дівчатками, що суперечить умові. Отже, обидва говорили неправду.

Отже, у хлопчика руде волосся, а у дівчинки чорне.

Задача 2.

В одній урні лежать два білих шари, в іншій – два чорних, в третій – один білий шар і один чорний. На кожній урні знаходиться табличка, що характеризує її склад: ББ, ЧЧ, БЧ. Але якийсь жартівник перевісив усі таблички так, що тепер кожен з них вказує на склад урни неправильно. Дозволено витягнути шар із будь-якої урни, не зазираючи у неї. Яке найменше число витягувань потрібно, щоб визначити склад усіх урн? (Після кожного витягування шар повертається назад).

Розв’язання. Достатньо вилучити один шар з урни з табличкою БЧ. Якщо він опинився білим, то у цій урні білі шари, а чорні шари повинні бути в урні із табличкою ББ, адже не можуть вони бути в урні з табличкою ЧЧ. В урні ЧЧ знаходяться шари різного кольору.
Якщо ж витягнути чорний шар, то в урні з табличкою БЧ чорні шари, в урні ЧЧ – білі, а в ББ – різного кольору.

Задача 3. 

Андерсон покинув готель в Сан-Ремо о 9 годині і знаходився в дорозі цілу годину, коли Бакстер вийшов за ним по тому ж шляху. Собака Бакстера вискочила одночасно зі своїм господарем і бігала увесь час між ним і Андерсоном до тих пір, поки Бакстер не наздогнав Андерсона. Швидкість Андерсона складала 2 км /год., Бакстера –
4 км / год. і собаки – 10 км / год. Скільки кілометрів пробігла собака до моменту, коли Бакстер наздогнав Андерсона?

Розв’язання. Бакстер наздогнав Андерсона через одну годину, тому що до цього часу вони пройдуть по 4 кілометру у одному напрямі. Оскільки швидкість собаки становить 10 км / год., то за цей час вона пробіжить 10 кілометрів.

Відповідь: 10 км.

Задача 4.

Слухається справа Брауна, Джонса і Сміта. Один з них здійснив злочин. В процесі розслідування кожен із них зробив по дві заяви.

Браун: «Я не робив цього. Джонс не робив цього.»

Джонс: «Браун не робив цього. Сміт зробив це».

Сміт: «Я не робив цього. Браун зробив це».

Було встановлено далі, що один із них двічі збрехав, інша двічі сказала правду, третя – раз збрехала, раз сказав правду. Хто здійснив злочин?

Розв’язання. Якщо вор – Сміт, то і Браун, і Джонс обидва сказали правду. Якщо вор – Джонс, то і Браун, і Сміт одночасно сказали і правду, і збрехали. Таким чином, Браун – злочинець. Джонс обидва рази збрехав, Сміт обидва рази сказав правду, Браун одного разу збрехав, другий раз сказав правду.

Задача 5

Кондуктор пасажирського поїзда, швидкість якого 50 км/год, помітив, що зустрічний товарний поїзд, який йде зі швидкістю 40 км/год  пройшов повз нього за 10 сек. Визначити довжину товарного поїзда.

Розв’язання

40+50 = 90 (км/год)  швидкість зближення поїздів

90 000:3600 = 25 (м/с) швидкість зближення поїздів

25∙10 = 250 (м)  довжина товарного поїзда.

Відповідь. 250 метрів.

Задача 6

Дівчинка наклеює в альбом картинки. Якщо вона на кожну сторінку наклеїть по 4 картинки, то в альбомі не вистачить місця для 20 картинок, коли ж вона на кожну сторінку наклеїть по 6 картинок, то в альбомі залишиться 5 сторінок вільними. Скільки було у дівчинки картинок і скільки сторінок в альбомі?

Розв’язання

20:4 = 5,  6∙5 = 30,  20+30 = 50,  6-4 = 2,  50:2 = 25 сторінок в альбомі. 4∙25+20=120 картинок.

Відповідь. 120 картинок, 25 сторінок.

Задачі для самостійного розв’язування.

1. Пасажирський поїзд долає відстань між Львовом і Києвом за 10 год, а товарний цю відстань долає за 15 год. Через який час ці поїзди зустрінуться.

2. Є 70 монет по 20 коп  і по 15 коп. на однакові суми. Скільки є монет кожної вартості окремо?

3. Яке найбільше число тверджень з наведених нижче, які одночасно можуть бути істинними:
а) Джо спритник,

б) Джо не щастить,

в) Джо щастить, але він не спритник,

г) якщо Джо спритник, то йому не щастить,

д) Джо є спритником тоді і тільки тоді, якщо йому щастить,

е) або Джо спритник, або йому щастить, але не те й інше одночасно.

Розв’язання. Одночасно можуть бути істиними чотири твердження а, б, г, е.

4. Мати розділила між своїми синами груші. Першому вона дала половину всіх груш і ще половину груші, другому – половину залишку і ще половину груші і, нарешті, третьому – половину нового залишку і ще половину груші. Жодної груші при цьому не потрібно було розрізати. Скільки груш отримав кожен син, якщо мати роздала усі груші?

Розв’язання.Нехай х груш мама раздала синам. 

Перший син отримав половину груш і півгруші, тобто 0,5х+0,5 груш. 

Після цього у мами залишилось  х – (0,5х + 0,5) = х – 0,5х – 0,5 = 0,5 х – 0,5 груш.  

Другий син отримав половину цього залишку та ще півгруші, тобто 
0,5(0,5х – 0,5) + 0,5=0,25х – 0,25 + 0,5 = 0,25х + 0,25 груш.

 Після цього у мами залишилось

 (0,5х – 0,5) – (0,25х + 0,25)  = 0,5х – 0,5 – 0,25х – 0,25 = 0,25 х – 0,75 груш.

 Молодший син потримав половину цього та ще півгруші, тобто

0,5(0,25х – 0,75) + 0,5 = 0,125 х –0,375 +0,5(0,5х – 0,5) + 0,5=0,25х – 0,25 + 0,5 = 0,25х + 0,25 груш.

 Після цього у мами залишилось

 (0,5х – 0,5) –(0,25х + 0,25)  = 0,5х – 0,5 – 0,25х – 0,25 = 0,25 х – 0,75 груш.

Молодший син потримав половину цього та ще півгруші, тобто

 0,5(0,25х – 0,75) + 0,5 = 0,125 х –0,375 + + 0,5 = 0,125 х +0,125 груш. 

Після цього у мами не залишилось жодної груші.

 Складемо рівняння: (0,5х + 0,5) – (0,25х + 0,25) – (0,125х + 0,125) = 0х – 0,5х – 0,5 – 0,25х – 0,25 – 0,125х – 0,125 = 00,125х – 0,875 = 00,125х = 0,875
x = 0,875 : 0,125 

х = 7    груш раздала мама.
(7 – 4) : 2 + 0,5 = 2 груші отримав другий син.
7 –4 – 2 = 1 грушу отримав третій син. 

7:2 + 0,5 = 4 груші отримав перший сін.

5. У готель приїхав мандрівник. Грошей він не мав, а мав лише срібний ланцюжок, що складається з семи ланок. За кожен день перебування в готелі він розплачувався однією ланкою ланцюжку, при цьому господар попередив, що згоден взяти не більше однієї розпиленої ланки. Підкажіть, як мандрівникові розпиляти ланцюжок, щоб прожити в готелі сім днів і щодня розплачуватися з господарем.

Розв’язання.

Розпиляти третій ланцюжок. Отримаємо три частини ланцюжка: одна частина буде складатись і двох ланцюжків, друга – із чотирьох, третя частина – один розпилений ланцюжок.

1-й день – мандрівник віддає розпилену ланку;

2-й день – віддає частину із двох ланок, розпилену ланку йому повертають;

3-й день – мандрівник віддає розпилену ланку;

4-й день – віддає частину із чотирьох ланок, йому повертають частину із двох ланок;

5-й день – мандрівник віддає розпилений ланцюжок;

6-й день – віддає частину із двох ланок, розпилену ланку йому повертають.

7-й день – мандрівник віддає розпилену ланку.

Задача 5.

     У родині четверо дітей, їм 5, 8, 13 і 15 років, а звуть їх Таня, Юра, Світлана та Олена. Одна дівчинка ходить у дитячий садок, Таня старше, ніж Юра, а сума років Тані і Світлани ділиться на 3. З’ясувати, скільки років кожній дитині.

Відповідь обґрунтувати.

Розв’язання. Оскільки у дитячий садок ходить дівчинка, то це точно не Юра, якому не менш 8. Таня старше Юри, їй 13 або 15, а так як сума років Тані та Світлани ділиться на 3, то це тільки 13, адже 15 у сумі з будь-яким іншим віком не ділиться на три. Отже, Тані - 13 років. Оскільки Таня старше Юри, а йому не менш 8, то Юрі 8 років. Тепер, сума віків Тані та Світлани ділиться на три, Тані 13, а Світлані 5 або 15, друге не підходить, а значить Світлані 5 років. Залишається Олена - їй 15 років.

Відповідь: Світлані 5 років, Юрі 8 років, Тані 13 років, Олені 15 років.

Задача 6.

 Квадрат деякого натурального числа записується цифрами 0, 2, 3, 5 (кожна цифра входить до запису квадрата числа тільки один раз).

Знайти це число.

Розв’язання: Квадрат жодного натурального числа не закінчується цифрами 2 і 3. Одним нулем квадрат числа теж закінчуватися не може. Отже, дане число закінчується цифрою 5. Квадрати чисел, запис яких  закінчується цифрою 5, мають в записі дві останні цифри 25. Нулем число починатися не може, отже перша цифра 3. Тоді друга – нуль. Дане число – 3025=55²   .

Відповідь: 3025.

Задача 7.

    Михайлик і Віталій купили по одній коробці чаю у пакетиках. Відомо, що одного пакетика вистачає на дві або три чашки чаю. Михайликові коробки вистачило тільки на 41 чашку, а Віталію – на 58. Скільки пакетиків було в коробці? 

Відповідь обґрунтувати.

Розв’язання. Михайлик не міг використати більше ніж 20 пакетиків чаю, бо інакше він випив би не менше 21*2 =42  чашок. Віталій не міг використати менше ніж 20 пакетиків чаю, бо інакше він випив би не більше  19*3 = 57 чашок. Таким чином, у коробці 20 пакетиків чаю. Розв’язання було б не повним, якби ми не вказали спосіб випити 41 і 58 чашок чаю, виходячи із 20 пакетиків. Так, Михайлик 19 разів заварив пакетик на 2 чашки чаю і 1 раз – на 3. Віталій 18 разів заварив пакетик на 3 чашки і двічі – на 2.

Відповідь: 20 пакетиків.

Матеріали взято з сайту "Математичні шкільні олімпіади"  http://olimpmath.blogspot.com/2014/07/6_12.html